Question

設a＞0，函數f(x)=

x

a2+x2

的導函數為f'（x）．
（Ⅰ）求f'（0），f'（1）的值，并比較它們的大小；
（Ⅱ）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：求導數f′（x），
（1）令x=0，x=1，可分別求得f'（0），f'（1）的值，再
（2）令f′（x）=0，求得x值，然后列表，根據導數符號即可判斷極值點求得極值．

解答：解：由于函數f(x)=

x

a2+x2

（a＞0）的導函數為f'（x），
則f′(x)=

(a2+x2)-x×2x

(a2+x2)2

=

a2-x2

(a2+x2)2

=-

(x+a)(x-a)

(a2+x2)2

（1）f'（0）=

1

a2

，f'（1）=

a2-1

(a2+1)2

由于a＞0，a²＜a²+1，則

1

a2

＞

1

a2+1

=

a2+1

(a2+1)2

＞

a2-1

(a2+1)2

，故f'（0）＞f'（1）
（2）令f′（x）=0，則x=-a或x=a
當x變化時f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以，當x=a時，函數有極大值，且f（a）=

1

a3

，
當x=-a時，函數有極小值，且f（-a）=-

1

a3

．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，考查學生的運算能力，屬中檔題．