Question

已知△ABC中，sinA(sinB+

3

cosB)=

3

sinC．
（I）求角A的大小；
（II）若BC=3，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）把sinC=sin（A+B）代入題設等式，利用兩角和公式展開后整理求得tanA的值，進而求得A．
（II）利用正弦定理可知AB+AC=2R（sinB+sinC），利用兩角和公式化簡整理，利用B的范圍和正弦函數的單調性求得周長的范圍．

解答：解：（I）A+B+C=π
得sinC=sin（A+B）代入已知條件得sinAsinB=

3

cosAsinB
∵sinB≠0，由此得tanA=

3

，A=

π

3

（II）由上可知：B+C=

2π

3

，∴C=

2π

3

-B
由正弦定理得：AB+AC=2R(sinB+sinC)=2

3

(sinB+sin(

2π

3

-B))
即得：AB+AC=2

3

(

3

2

sinB+

3

2

cosB)=6sin(B+

π

6

)
∵0＜B＜

2π

3

得

1

2

＜sin(B+

π

6

)≤1
∴3＜AB+AC≤6，
∴△ABC周長的取值范圍為（6，9]

點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值，正弦定理的運用．考查了學生對三角函數基礎知識的整體把握和理解．