Question

【題目】已知 ，直線 的斜率之積為 .
（Ⅰ）求頂點 的軌跡方程 ；
（Ⅱ）設動直線 ，點 關于直線 的對稱點為 ，且 點在曲線 上，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設動點M（x，y），則M（x，y）滿足：
C： ，
又 ，所以 ，
故答案為：M點的軌跡方程C是： ．
（Ⅱ）由題意，設點 ，由點 關于直線 的對稱點為 ，
則線段 的中點 的坐標為 且 ．
又直線 的斜率 ，故直線 的斜率 ，
且過點 ，所以直線 的方程為： ．
令 ，得 ，
由 ，得 ，
則 ， ，
又 ，當且僅當 時等號成立，
故答案為：m的取值范圍為 或
【解析】（1）設動點M的坐標為（x,y），利用斜率之積已知，結合斜率公式得到關于點M的坐標的方程即為所求.
（2）由于點PQ關于直線l對稱，可將PQ中點D的坐標用點P的坐標表示出來，同時將直線l的斜率也表示出來，即將直線l的方程用點P的坐標不表示，令x=0，將m表示為點P的坐標的函數式，用均值不等式求最值.