Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊），
（1）求a₁，a₂，a₃并猜想數列{a_n}的通項公式；
（2）證明上述猜想．

Answer 1

分析：（1）在遞推關系式中令n-1求出a2，令n=2求出a3．
（2）由（1）猜想an=

2

n+1

．用數學歸納法證明即可．

解答：解：（1）
a₁=1．
a2=

2a1

2+a1

=

2

2+1

=

2

3

．
a3=

2a2

2+a2

=

2× 2 3

2+ 2 3

=

1

2

（2）猜想an=

2

n+1

．
證明：當n=1時顯然成立．
假設當n=k（k≥1）時成立，即ak=

2

k+1

則當n=k+1時，ak+1=

2ak

2+ak

=

2× 2 k+1

2+ 2 k+1

=

4

2k+4

=

2

(k+1)+1

所以an=

2

n+1

．

點評：本題考查歸納推理、數學歸納法的應用．考查計算、論證能力．