Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，為線段的中點.

（Ⅰ）求直線與平面所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）若在段上，且直線與平面相交，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

以為坐標原點，建立空間直角坐標系：

（Ⅰ）求得直線的方向向量和平面的法向量，通過向量的夾角求得線面角的夾角；

（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法求二面角的大�。�

（Ⅲ）設出點坐標，根據的方向向量和法向量不垂直，即可求得范圍.

（Ⅰ） 因為，

所以；

又因為，，

所以，

因此.

以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示.

則，，，

，，.

所以，，.

設平面的法向量，

由得：

令，則

設直線與平面所成角為，

則有=

所以

即：直線與平面所成角的余弦值為.

（Ⅱ）同理可得：平面的法向量，

則有

因為二面角的平面角為鈍角，

所以二面角的大小為.

（Ⅲ）設，

由得：.

則，

又因為直線與平面相交，

所以.

即: , 解得：

所以的取值范圍是.