Question

數列{a_n}滿足a₁=0，a₂=2，，
（I）求a₃，a₄，并求數列{a_n}的通項公式；
（II）設S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1，T_k=a₂+a₄+…+a_2k，，求使W_k＞1的所有k的值，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知，a₄=（1+cos²π）a₂+4sin²π=2a₂=4，一般地，當n=2k-1（k∈N^*）時，a_2k+1-a_2k-1=4．因此a_2k-1=4（k-1）．當n=2k（k∈N^*）時，a_2k=2^k．由此可知數列{a_n}的通項公式為．
（II）由題設知，S_k=a₁+a₃++a_2k-1=0+4++4（k-1）=2k（k-1），T_k=a₂+a₄++a_2k=2+2²+2^k=2^k+1-2，
由此可知當k≥6時，W_k+1＜W_k．滿足W_k＞1的所有k的值為3，4，5．
解答：解：（I）因為a₁=0，a₂=2，所以，a₄=（1+cos²π）a₂+4sin²π=2a₂=4，一般地，當n=2k-1（k∈N^*）時，，
即a_2k+1-a_2k-1=4．所以數列{a_2k-1}是首項為0、公差為4的等差數列，
因此a_2k-1=4（k-1）．
當n=2k（k∈N^*）時，，
所以數列{a_2k}是首項為2、公比為2的等比數列，因此a_2k=2^k．
故數列{a_n}的通項公式為

（II）由（I）知，S_k=a₁+a₃++a_2k-1=0+4++4（k-1）=2k（k-1），T_k=a₂+a₄++a_2k=2+2²+2^k=2^k+1-2，
于是W₁=0，W₂=1，，，，．
下面證明：當k≥6時，W_k＜1．事實上，當k≥6時，，
即W_k+1＜W_k．
又W₆＜1，所以當k≥6時，W_k＜1．
故滿足W_k＞1的所有k的值為3，4，5．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．