Question

如圖，雙曲線與拋物線x²=3（y+m）相交于A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），C（-x₂，y₂）D（x₂，y₂），（x₁＞0，x₂＞0），直線AC、BD的交點為P（0，p）．
（Ⅰ）試用m表示x₁x₂；
（Ⅱ）當m變化時，求p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，A、B、C、D四點坐標是下面方程組的解：，消掉x可得y的二次方程，此時有△＞0，而x可用y表示，從而用韋達定理可表示出x₁x₂；
（Ⅱ）由向量=（x₁，y₁-p）與=（-x₂，y₂-p）共線，得x₁（y₂-p）+x₂（y₁-p）=0，從而可用x₁，x₂表示出p，由（Ⅰ）的結論可把p用m表示出來，根據m的范圍可得p的范圍；
解答：解：（Ⅰ）依題意，A、B、C、D四點坐標是下面方程組的解：
消去x，得y²-y+1-m=0，
由△=1-4（1-m）＞0，得m＞，且y₁+y₂=1，y₁y₂=1-m．
x₁x₂=•==．    
（Ⅱ）由向量=（x₁，y₁-p）與=（-x₂，y₂-p）共線，
得x₁（y₂-p）+x₂（y₁-p）=0，
∴p=
=，
∵m＞，∴0＜p＜，
故p的取值范圍是．
點評：涉及曲線的位置關系問題，往往通過聯立方程組，消元后，應用韋達定理，簡化運算過程．本題（II）通過應用平面向量共線的條件，建立了p，m的關系，利用函數的觀點，確定得到p的范圍．