【題目】已知函數
，其中
.
（1）當
時，求曲線
在點
處切線的方程；
（2）當
時，求函數
的單調區間；
【答案】（1）
； （2）見解析.
【解析】
(1)把
代入函數解析式,求出原函數的導函數,得到曲線
在點
處的導數值,再求出
,代入直線方程的點斜式求切線的方程;
(2)求函數
的導函數,得到導函數的零點,討論
的范圍，由導函數的零點對函數定義域分段,利用導函數在各區間段內的符號判斷原函數的單調性;
（1）當時，則函數
，
則
，則
，
曲線
在點
處切線的方程為
，
整理得：.
故得解.
（2）由函數
，則
，
令
，
，
，又
且
，
①若
，
，當
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 單調遞增 | 極大值 | 單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
所以在區間
和
內是增函數，在
內是減函數.
②若
，
，當變化時，，的變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 單調遞增 | 極大值 | 單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
所以在
和
內是增函數，在
內是減函數.
綜上可得：
時，在區間和內是增函數，在內是減函數；
時，在和內是增函數，在內是減函數.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）
為曲線上的動點，點
在線段
上，且滿足
，求點的軌跡
的直角坐標方程；
（2）設點
的極坐標為
，點
在曲線上，求
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們知道，地球上的水資源有限，愛護地球、節約用水是我們每個人的義務與責任.某市政府為了對自來水的使用進行科學管理，節約水資源，計劃確定一個家庭年用水量的標準.為此，對全市家庭日常用水量的情況進行抽樣抽查，獲得了
個家庭某年的用水量（單位：立方米），統計結果如下表及圖所示.
分組 | 頻數 | 頻率 |
| 25 | |
| 0.19 | |
| 50 | |
| 0.23 | |
| 0.18 | |
| 5 |
（1）分別求出，
的值；
（2）若以各組區間中點值代表該組的取值，試估計全市家庭年均用水量；
（3）從樣本中年用水量在
（單位：立方米）的5個家庭中任選3個，作進一步的跟蹤研究，求年用水量最多的家庭被選中的概率（5個家庭的年用水量都不相等）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
－2為自然對數的底數，
)．
(1)若曲線
在點
處的切線與曲線
至多有一個公共點時，求
的取值范圍；
(2)當
時，若函數
有兩個零點，求的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為
（其中α為參數），曲線C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程；
（2）若射線θ=
（ρ＞0）與曲線C1，C2分別交于A，B兩點，求|AB|．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】海關對同時從A，B，C三個不同地區進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區進口此種商品的數量(單位：件)如表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測．
地區 | A | B | C |
數量 | 50 | 150 | 100 |
（1）求這6件樣品中來自A，B，C各地區商品的數量；
（2）若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區的概率．
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