Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，?x∈R都有f（x+6）=f（x）+2f（3），若函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于直線x+1=0對稱，且f（-2）=2012，則f（2012）=（　　）

A．0

B．2012

C．-2012

D．2013

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于直線x+1=0對稱，結(jié)合函數(shù)的圖象的平移可知函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=0對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，對已知條件賦值可求f（3）=f（-3）=0，可得函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，可求

解答：解：∵函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于直線x+1=0對稱
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，即函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)
∵?x∈R都有f（x+6）=f（x）+2f（3）
令x=-3可得f（3）=f（-3）+2f（3）
∴f（-3）=-f（3）=f（3）
∴f（3）=f（-3）=0
∴f（x+6）=f（x）即函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)
∴f（2012）=f（2）=f（-2）=2012
故選B

點評：本題主要考查了利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，函數(shù)的圖象的平移及偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的周期的求解是求解本題的關(guān)鍵