Question

已知拋物線過點．

（I）求拋物線的方程；

（II）已知圓心在軸上的圓過點，且圓在點的切線恰是拋物線在點的切線，求圓的方程；

（Ⅲ）如圖，點為軸上一點，點是點關于原點的對稱點，過點作一條直線與拋物線交于兩點，若，證明: ．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）；（Ⅲ）見解析。

【解析】

試題分析：（I）

（II）由   得 所以拋物線 在點處切線的斜率為

過點且與切線垂直的直線方程為：，即，令得

圓心，半徑

圓的方程為：

（Ⅲ）設直線AB的方程為 代入拋物線方程得    

設A、B兩點的坐標分別是 、、x₂是方程①的兩根.

所以    ①

由得

即　②

由①、②可得

又點Q是點P關于原點的對稱點，故點Q的坐標是（0，－m），從而.

所以 

考點：拋物線的簡單性質；圓的簡單性質；導數的幾何意義；直線與拋物線的綜合應用。

點評：：研究直線與拋物線的綜合問題，通常的思路是：轉化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與拋物線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數的關系及判別式解決問題。