Question

（本小題共13分）

       若數列滿足，則稱為數列，記.

       （Ⅰ）寫出一個E數列A₅滿足；

       （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數列是遞增數列的充要條件是=2011；

       （Ⅲ）在的E數列中，求使得=0成立得n的最小值.

Answer 1

（共13分）

       解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具滿足條件的E數列A₅.

       （答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，
—2，0，±1，0，—1，0都是滿足條件的E的數列A₅）

       （Ⅱ）必要性：因為E數列A₅是遞增數列，

       所以．

       所以A₅是首項為12，公差為1的等差數列．

       所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011．

       充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1，

       a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1

       ……

       a₂—a₁≤1

       所以a₂₀₀₀—a_t≤19999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999．

       又因為a₁=12，a₂₀₀₀=2011,

       所以a₂₀₀₀=a₁+1999．

       故是遞增數列．

       綜上，結論得證.

       （Ⅲ）對首項為4的E數列A_k，由于

      

……

……

所以

所以對任意的首項為4的E數列A_m，若

則必有.

又的E數列

所以n是最小值是9.