Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x-4）=-f（x），在[0，2]上f（x）是增函數，則下列結論：①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，則f（x₁）+f（x₂）＞0；②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，則f（x₁）＞f（x₂）；③若方程f（x）=m在[-8，8]內恰有四個不同的角x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=±8，其中正確的有（ ）
A．0個
B．1個
C．2個
D．3個

Answer 1

【答案】分析：由條件“f（x-4）=-f（x）”得f（x+8）=f（x），說明此函數是周期函數，又是奇函數，且在[0，2]上為增函數，
由這些畫出示意圖，由圖可解決問題．
解答：解：此函數是周期函數，又是奇函數，且在[0，2]上為增函數，
綜合條件得函數的示意圖，由圖看出，
①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，f（x）在[0，2]上是增函數，則f（x₁）＞f（x₁-4）=f（-x₂）=-f（x₂）；，則f（x₁）+f（x₂）＞0；故①正確；
②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，f（x）在[0，2]上是增函數，由圖可知：f（x₁）＞f（x₂）；故②正確；
③四個交點中兩個交點的橫坐標之和為2×（-6），
另兩個交點的橫坐標之和為2×2，
所以x₁+x₂+x₃+x₄=-8．故③正確；
故選D．
點評：數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．