Question

已知函數f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x≥

1

2

時，若關于x的不等式f(x)≥

3

2

x2-3x+a恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用導數作為工具是解決本題的關鍵．
（1）利用導數與切線斜率之間的關系是寫切線方程的前提，用直線方程的點斜式寫出方程；
（2）將不等式恒成立問題轉化為函數最值問題，用好分離變量的思想．

解答：解：（1）f'（x）=e^x+4x-3，
則f'（1）=e+1，又f（1）=e-1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y-e+1=（e+1）（x-1），即y=（e+1）x-2．
（2）由f(x)≥

3

2

x2+-3x+a，
得a≤ex+

1

2

x2，
令g(x)=ex+

1

2

x2，則g'（x）=e^x+x
∵x≥

1

2

，g'（x）=e^x+x＞0，故g（x）在x∈[

1

2

，+∞)上單調遞增，
∴a≤g(x)min=g(

1

2

)=

e

+

1

8

．

點評：本題考查導數的工具作用，利用函數在某點處切線的斜率就是在該點處的導數值，寫出所求切線的斜率，進而利用點斜式寫出直線的方程，注意恒成立問題中的分離變量思想，將恒成立問題轉化為函數的最值問題．