Question

一同學為研究函數f（x）=+（0≤x≤1）的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC點P是邊BC上的一動點，設CP=x，則AP+PF=f（x），請你參考這些信息，推知函數g（x）=4f（x）-9的零點的個數是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得當A、P、F共線 時，f（x）取得最小值為＜，當P與B或C重合時，f（x）取得最大值為+1＞．g（x）=4f（x）-9的零點的個數就是f（x）=的解的個數，而由題意可得 f（x）=的解有2個，從而得出結論．
解答：解：由題意可得 函數f（x）=+=AP+PF，當A、P、F共線 時，f（x）取得最小值為＜，當P與B或C重合時，f（x）取得最大值為+1＞．
g（x）=4f（x）-9=0，即 f（x）=．故函數g（x）=4f（x）-9的零點的個數就是f（x）=的解的個數．
而由題意可得 f（x）=的解有2個，
故答案為 2．
點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，體現了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．