Question

一同學為研究函數f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

（0≤x≤1）的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC點P是邊BC上的一動點，設CP=x，則AP+PF=f（x），則推知函數g（x）=5f（x）-11的零點的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．4

Answer 1

分析：由題意可得函數f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，可得f（x）的最小值為

5

＞

11

5

，由于函數g（x）=5f（x）-11的零點的個數，就是方程 f（x）=

11

5

的解的個數，從而得出結論．

解答：解：由題意可得函數f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，
當A、P、F共線 時，f（x）取得最小值為

5

＞

11

5

，當P與B或C重合時，f（x）取得最大值為

2

+1＞

11

5

．
g（x）=5f（x）-11=0，即 f（x）=

11

5

．
由題意可得，函數g（x）=5f（x）-11的零點的個數，就是方程 f（x）=

11

5

的解的個數．
再由f（x）的最小值為

5

＞

11

5

，可得方程 f（x）=

11

5

無解，
故選A．

點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，體現了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．