Question

已知f（x）=x+

1

|x|

．
（1）指出的f（x）值域；
（2）求函數f（x）對任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求實數m的取值范圍．
（3）若對任意正數a，在區間[1，a+

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a

]內存在k+1個實數a₁，a₂，…，a_k+1使得不等式f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_k）＜f（a_k+1）成立，求k的最大值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數的值域

專題：綜合題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）分x＞0和x＜0寫出分段函數，分段求出值域后取并集得答案；
（2）由導數判斷出f（x）=x-

1

x

在[-2，-1]上為增函數，然后分m＞0和m＜0兩種情況代入
f（mx）+mf（x），把f（mx）+mf（x）＜0轉化為含參數m的不等式恒成立，m＞0時分離參數m，求出函數的最值，則m的范圍可求，m＜0時，不等式不成立，從而得到實數m的取值范圍；
（3）取正數a=

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，在區間[1，a+

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a

]內存在k+1個實數a₁，a₂，…，a_k+1使得不等式
f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_k）＜f（a_k+1）成立，可考慮在其子集[1，2

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]內成立，由函數是增函數得到k個不等式f（1）≤f（a_i）（i=1，2，…，k），作和后結合已知轉化為關于k的不等式，則k的最大值可求．

解答： 解：（1）當x＞0時，f（x）=x+

1

|x|

=x+

1

x

≥2；
當x＜0時，f（x）=x+

1

|x|

=x-

1

x

∈R．
∴函數f（x）的值域為R；
（2）由題意知，m≠0，
當x∈[-2，-1]，函數f（x）=x-

1

x

，f′(x)=1+

1

x2

＞0，
∴f（x）=x-

1

x

在[-2，-1]上為增函數，
①當m＞0時，由x∈[-2，-1]，得f（mx）+mf（x）=mx-

1

mx

+mx-

m

x

=2mx-

m2+1

mx

＜0恒成立，
即2m²x²-m²-1＞0恒成立，由于x∈[-2，-1]時，2x²-1＞0，也就是m2＞

1

2x2-1

恒成立，
而

1

2x2-1

在[-2，-1]上的最大值為1，因此，m＞1．
②當m＜0時，mx+

1

mx

+mx-

m

x

=2mx+

1-m2

mx

＜0，即2m²x²-m²+1＜0．
由于x∈[-2，-1]時，2x²-1＞0，不等式左邊恒正，該式不成立．
綜上所述，m＞1；
（3）取a=

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，則在區間[1，2

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]內存在k+1個符合要求的實數．
注意到[1，2

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]⊆[1，a+

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a

]．
故只需考慮在[1，2

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]上存在符合要求的k+1個實數a₁，a₂，…，a_k+1，
函數f（x）=x+

1

x

在[1，2

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]上為增函數，∴f（1）≤f（a_i）（i=1，2，…，k），
f(ak+1)≤f(2

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)，將前k個不等式相加得，kf(1)≤f(a1)+f(a2)+…+f(ak)＜f(ak+1)≤f(2

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)，
得k＜

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+

1

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＜45，∴k≤44．
當k=44時，取a₁=a₂=…=a₄₄=1，a45=2

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，則題中不等式成立．
故k的最大值為44．

點評：本題考查了函數的值域，考查了函數恒成立問題，訓練了分離變量法和數學轉化思想方法，特別對于（3）的處理，體現了特值化思想在解題中的應用，是難度較大的題目．