Question

已知數列｛b_n｝是等差數列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=145.

（Ⅰ）求數列｛b_n｝的通項b_n；

（Ⅱ）設數列｛a_n｝的通項a_n=log_a（1+）（其中a＞0，且a≠1），記S_n是數列｛a_n｝的前n項和.試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結論.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）設數列｛bn｝的公差為d，由題意得 解得    ∴bn＝3n－2 （Ⅱ）由Sn＝3n－2知 因此要比較Sn與logabn＋1的大小，可先比較（1＋1）（1＋）…（1＋）與的大小. 取n=1，有（1＋1）＞ 取n=2，有（1＋1）（1＋）＞， …… 由此推測（1＋1）（1＋）……（1＋）＞　　   ① 若①式成立，則由對數函數性質可斷定： 當a＞1時，Sn＞logabn+1 當0＜a＜1時，Sn＜logabn+1. 下面用數學歸納法證明①式. （i）當n=1時已驗證①式成立. （ii）假設當n=k（k≥1）時，①式成立， 即（1+1）（1+）……. 那么，當n=k+1時， （1+1）（1+）……（1+）·［1+］＞（1+） =（3k+2） ∵ ∴（3k+2）＞ 因而（1+1） 這就是說①式當n=k+1時也成立. 由（i）（ii）知，①式對任何自然數n都成立.由此證得： 當a＞1時，Sn＞logabn+1 當0＜a＜1時，Sn＜logabn+1