Question

已知數列{a_n}是公差不為0的等差數列，a₂=2，a₈為a₄和a₁₆的等比中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=(

2

an+an+1

)2，求證b1+b2+b3+…+bn＜

n

n+1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公差為d，由a₂=2，a₈為a₄和a₁₆的等比中項解得

a 1=1 d=1

，由此能求出a_n．
（2）法一：由

an+an+1

2

＞

an•an+1

，知bn＜

1

n(n+1)

，故b1+b2+b3+…+bn＜

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

，由裂項求和法能得到結果．
（法二）用數學歸納法進行證明．①當n=1時，右=b1=(

2

2×1+1

)2=

4

9

，右=

1

2

，成立；②假設n=k時，b₁+b₂+…+b_k+1＜

k

k+1

+(

2

2k+3

)2，由此得到

k

k+1

+(

2

2k+3

)2＜

k+1

k+2

，當n=k+1時，不等式成立，由①②可得原不等成立．

解答：（1）解：設{a_n}的公差為d，
由題意得

a 1+d=2 (a1+7d)2=(a1+3d)(a1+15d)

…（2分）
解得

a1=1 d=1

∴an=1+（n-1）×1=n…（4分）
（2）證明：（法一）
∵

an+an+1

2

＞

an•an+1

，
∴

2

an+an+1

＜

1

n(n+1)

，
∴(

2

an+an+1

)2＜

1

n(n+1)

，
即bn＜

1

n(n+1)

…9（分）
∴b1+b2+b3+…+bn＜

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

…（12分）
（法二）
①當n=1時，右=b1=(

2

2×1+1

)2=

4

9

，右=

1

2

，顯然成立 …（5分）
②假設n=k時，b₁+b₂+…+b_k+1
＜

k

k+1

+(

2

2k+3

)2…（7分）

k

k+1

+(

2

2k+3

)2-

k+1

k+2

=

k(k+2)(2k+3)2+4(k+1)(k+2)-(k+1)2(2k+3)2

(k+1)(2k+3)2•(k+2)

=

(2k+3)2[k(k+2)-(k+1)2]+4(k2+3k+2)

(k+1)(2k+3)2•(k+2)

=

-1

(k+1)(2k+3)2•(k+2)

＜0
∴

k

k+1

+(

2

2k+3

)2＜

k+1

k+2

∴b1+b2+…+bk+1＜

k+1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

…(11分)
即當n=k+1時，不等式成立，由①②可得原不等成立．…（12分）

點評：本題考查數列通項公式的求法和數列前n項和的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法和靈活運用，注意不等式和數列性質的綜合運用，注意數學歸納法的解題步驟．