Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f（x）單調遞增，f（-1）=0．設?（x）=sin²x+mcosx-2m，集合M={m|對任意的x∈[0，

π

2

]，?(x)＜0}，集合N={m|對任意的x∈[0，

π

2

]，f(?(x))＜0}，則M∩N為______．（注：m取值范圍構成集合．）

Answer 1

由題意，f（x）＜0等價于x＜-1或0＜x＜1，…2分
于是f（φ（x））＜0等價于φ（x）＜-1或0＜φ（x）＜1，…2分
從而M∩N={m|?x∈[0，

π

2

]，φ（x）＜-1}…2分
由φ（x）＜-1，問題轉化為：?x∈[0，

π

2

]sin²x+mcosx-2m＜-1恒成立．…2分
令t=cosθ，0≤t≤1，問題轉化為：t²-mt+2m-2＞0，即m在t∈[0，1]上恒成立
可得m＞

2-t2

2-t

，求出

2-t2

2-t

在∈[0，1]上的最大值，2＞2-t＞1，

2-t2

2-t

=

-(2-t)2+4(2-t)-2

2-t

=-（2-t）-

2

2-t

+4=-[（2-t）+

2

2-t

]+4≤-2

2

+4
（當t=2-

2

時等號成立）
∴m＞4-2

2

，即M∩N=（4-2

2

，+∞）…4分