Question

設函數f（x）=

1

2

sinx+

3

2

cosx，x∈R
（Ⅰ）求函數f（x）的周期和值域；
（Ⅱ）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=

3

2

，且a=

3

2

b，求角C的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=sin（x+

π

3

），進而可得周期和值域；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=sin（A+

π

3

）=

3

2

，由條件可得A=

π

3

，由a=

3

2

b結合正弦定理可得sinA=

3

2

sinB，可得sinB=1，根據角的范圍可得B值，由三角形的內角和可得．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin（x+

π

3

），
∴f（x）的周期為T=2π，
∵x∈R，∴x+

π

3

∈R，
∴f（x）的值域為[-1，1]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵0＜A＜π，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，∴A+

π

3

=

2π

3

，
解得A=

π

3

，
又∵a=

3

2

b，
∴sinA=

3

2

sinB，即

3

2

=

3

2

sinB，
解得sinB=1，
∴B=

π

2

，∴C=π-A-B=

π

6

點評：本題考查三角函數公式，涉及正弦定理的應用，屬中檔題．