Question

設拋物線y²＝2px(p＞0)的焦點為F，直線l過點F交拋物線于A、B兩點，點M在拋物線的準線上，O為坐標原點，設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1)求證：y₁y₂＝－p²；

(2)求證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數列．

Answer 1

答案：
解析：

　　證明：(1)設MA、MF、MB的斜率分別為k₁、k、k₂，A(x₁，y₁)，?B(x₂，y₂)，M(－，m)，

　　直線l的方程為：x＝ty＋，由得y²－2pty－p²＝0，故y₁y₂＝－p²．

　　(2)由已知得y₁²＝2px₁，y₂²＝2px₂，

　　∴x₁＋(y₁²＋p²)，x₂＋(y₂²＋p²)＝(y₁²＋p²)，k₁＋k₂＝．

　　∵k＝，∴k₁＋k₂＝2k．因此直線MA、MF、MB的斜率成等差數列．

　　思路解析：本題第一問涉及直線與拋物線的交點，注意聯立其方程消去一個未知數，利用根與系數間的關系從而達到目的；第二問在解決過程中注意充分利用點A、B在拋物線上這個已知條件．