Question

【題目】已知函數f（x）=2x+2﹣x ．
（1）求方程f（x）= 的根；
（2）求證：f（x）在[0，+∞）上是增函數；
（3）若對于任意x∈[0，+∞），不等式f（2x）≥f（x）﹣m恒成立，求實數m的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：方程 ，即 ，

亦即 ，

∴2x=2或 ，

∴x=1或x=﹣1

（2）證明：設0≤x1＜x2，

則 ，

∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[0，+∞）上是增函數

（3）解：由條件知f（2x）=22x+2﹣2x=（2x+2﹣x）2﹣2=（f（x））2﹣2，

因為f（2x）≥f（x）﹣m對于x∈[0，+∞）恒成立，且f（x）＞0，

m≥f（x）﹣f（2x）=f（x）﹣[f（x）]2+2．

又x≥0，∴由（2）知f（x）最小值為2，

∴f（x）=2時，m最小為2﹣4+2=0

【解析】（1）求出2x的值，從而求出方程的根即可；（2）根據函數單調性的定義證明即可；（3）求出f（2x）的表達式，得到m≥f（x）﹣f（2x）=f（x）﹣[f（x）]2+2，從而求出m的最小值即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．