Question

已知α，β均為銳角，且cosα=

4

5

，tan（α-β）=-

1

3

．
（1）求cos（α-β）的值；     
（2）求sinβ的值．

Answer 1

分析：根據平方關系和α是銳角即可得出sinα，再利用基本關系式即可得出tanα，利用兩角和的正切公式即可得出tanβ，利用基本關系式可得sinβ，cosβ，利用兩角和的余弦公式展開即可得出．

解答：解：（1）∵0＜α＜

π

2

，cosα=

4

5

，∴sinα=

1-cos2α

=

3

5

，∴tanα=

sinα

cosα

=

3

4

．
∵tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

3 4 -tanβ

1+ 3 4 tanβ

=-

1

3

，解得tanβ=

13

9

．
聯立

sinβ cosβ = 13 9 sin2β+cos2β=1

，解得

sinβ= 13 10 50 cosβ= 9 10 50

．
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

×

9 10

50

+

3

5

×

13 10

50

=

3 10

10

．
（2）由（1）可得sinβ=

13 10

50

．

點評：本題中考查了三角函數的基本關系式、正切公式、兩角和的余弦公式等基礎知識與基本方法，屬于基礎題．