Question

已知二次函數f（x）=ax²+x．
（1）設函數g（x）=（1-2t）x+t²-1，當a=1，函數h（x）=f（x）+g（x）在區間（-2，4）內有兩個相異的零點，求實數t的取值范圍．
（2）當a＞0，求證對任意兩個不等的實數x₁，x₂，都有；
（3）若x∈[0，1]時，-1≤f（x）≤1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=1，函數h（x）=x²+（2-2t）x+t²-1，由題意可得 ，由此求得實數t的取值范圍
（2）計算，化簡可得 ，從而證得結論．
（3）由題意可得x∈[0，1]時，-1≤ax²+x≤1，當x=0時，顯然成立．當x∈（0，1]時，由ax²+x+1≥0恒成立，求得a≥-2；由ax²+x-1≤0恒成立，求得a≤0．再由a不等于0，從而求得a的取值范圍．
解答：解：（1）當a=1，函數h（x）=f（x）+g（x）=x²+（2-2t）x+t²-1．
由題意可得 ，即，解得-2+＜t＜1．
故實數t的取值范圍為（-2+，1）．
（2）∵ 
=，
故對任意兩個不等的實數x₁，x₂，都有．
（3）由題意可得x∈[0，1]時，-1≤f（x）≤1，即-1≤ax²+x≤1，
即x∈[0，1]時，ax²+x+1≥0且ax²+x-1≤0恒成立，
當x=0時，顯然，ax²+x+1≥0且ax²+x-1≤0均成立．
當x∈（0，1]時，由ax²+x+1≥0恒成立，得，
而在x∈（0，1]最大值為-2，∴a≥-2．
當x∈（0，1]時，由ax²+x-1≤0恒成立，得，
而在x∈（0，1]最小值為0，∴a≤0．
綜上可得，-2≤a≤0．
而由題意可得a≠0，因此所求的a的取值范圍為[-2，0）．
點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數的關系，二次函數的性質的應用，函數的恒成立問題，屬于中檔題．