Question

已知向量

a

=(sinx，2

3

sinx)，

b

=(2cosx，sinx)，定義f(x)=

a•

b

- 

3

．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若函數y=f（x+θ）（0＜θ＜π）為偶函數，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）直接把向量代入函數f(x)=

a•

b

-

3

，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化為求f(x)=2sin(2x-

π

3

)，利用正弦函數的單調減區間求函數的單調遞減區間；
（2）若函數y=f（x+θ）（0＜θ＜π）為偶函數，y=f（x+θ）在x=0處取最大值或最小值求θ的值．根據0＜θ＜π，求出θ的值．

解答：解：（1）f(x)=2sinxcosx+2

3

sin2x-

3

=sin2x+2

3

•

1-cos2x

2

-

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)（4分）
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

2

≤2kπ+

3π

2

得單調遞減區間是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z．（6分）
（2）f(x+θ)=2sin(2x+2θ-

π

3

)，
由f（x+θ）為偶函數，
則f（x+θ）在x=0處取最大值或最小值．
∴sin(2θ-

π

3

)=±1，∴2θ-

π

3

=kπ+

π

2

，θ=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z．
又0＜θ＜π，得θ=

5π

12

或θ=

11π

12

．（12分）

點評：本題是基礎題，考查二倍角公式，兩角和的正弦函數，三角函數的最值，以及三角形的知識，是綜合題，考查計算能力，常考題型．