Question

（2011•江西模擬）已知函數f(x)=

ex，x≥0 -2x，x＜0

則關于x的方程f[f（x）]+k=0，給出下列四個命題：①存在實數k，使得方程恰有1個不同實根；②存在實數k，使得方程恰有2個不同實根；③存在實數k，使得方程恰有3個不同實根；④存在實數k，使得方程恰有4個不同實根；其中假命題的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由題意求出函數f[f（x）]的表達式，畫出它的圖象，利用單調性，判斷方程零點的個數即可．

解答：解：因為f(x)=

ex，x≥0 -2x，x＜0

，所以f[f（x）]=

eex≥e ，x≥0 e-2x＞1，x＜0

，
關于x的方程f[f（x）]+k=0，令g（x）=

eex+k，x≥0 e-2x+k，x＜0

，
f[f（x）]的圖象大致如圖：x＜0是減函數，x≥0是增函數．
方程f[f（x）]+k=0，：①存在實數k，使得方程恰有1個不同實根；正確．
②存在實數k，使得方程恰有2個不同實根；正確．
③存在實數k，使得方程恰有3個不同實根；不正確．
④存在實數k，使得方程恰有4個不同實根；不正確．
正確結果只有①②．
故選C．

點評：本題考查函數的零點與方程的根的問題，求出函數的表達式畫出圖象是解題的關鍵．