Question

（2011•江西模擬）已知數列{a_n}，{b_n}分別是等差、等比數列，且a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃≠b₄．
①求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
②設S_n為數列{a_n}的前n項和，求{

1

Sn

}的前n項和T_n；
③設C_n=

anbn

Sn+1

（n∈N），R_n=C₁+C₂+…+C_n，求R_n．

Answer 1

分析：①直接利用a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃≠b₄．求出公差d和公比q，即可求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
②直接代入等差數列的求和公式得S_n，再利用裂項相消求和法求{

1

Sn

}的前n項和T_n；
③先對C_n進行整理，再利用裂項相消求和法即可求R_n．

解答：解：①設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意

1+d=q 1+3d=q2 q≠1

⇒

q=2 d=1

∴a_n=1+（n-1）×1=n；
b_n=1×2^n-1=2^n-1．（4分）
②∵s_n=

n(n+1)

2

⇒

1

sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）．
∴T_n=

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

=2[（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．（8分）
③∵C_n=

n•2n-1

(n+1)(n+2) 2

=

n•2n

(n+1)(n+2)

=

2n+1

n+2

-

2n

n+1

．
∴R_n=C₁+C₂+…+C_n
=（

22

3

-

21

2

）+（

23

4

-

22

3

）+…+（

2n+1

n+2

-

2n

n+1

）
=

2n+1

n+2

-1．

點評：本題考查等差數列與等比數列的基礎知識以及數列求和的裂項相消求和法，是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題．本題的難點在與第三問的裂項．