Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的半焦距為C，直線L過（a，0），（0，b）兩點，已知原點到直線L的距離為

3

4

C，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．2
• B．2或

  2 3

  3

• C．

  2

• D．

  2

  3

  3

Answer 1

分析：直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，原點到直線l的距離為

|-ab|

c

=

3

4

c，∴4ab=

3

c2，據此求出a，b，c間的數量關系，從而求出雙曲線的離心率．

解答：解：∵直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，c²=a²+b²∴原點到直線l的距離為

|-ab|

c

=

3

4

c，
∴4ab=

3

c2，
∴16a²b²=3c⁴，
∴16a²（c²-a²）=3c⁴，∴16a²c²-16a⁴=3c⁴，
∴3e⁴-16e²+16=0，
解得 e=

2 3

3

或e=2．
∵0＜b＜a，∴e=

2 3

3

（e=2舍去）．
故選D．

點評：本題考查雙曲線性質．主要考查求雙曲線的離心率常用的方法，注意橢圓中三參數的關系是：a²=b²+c²雙曲線中三參數的關系：c²=b²+a²．的不同之處．