Question

已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率，橢圓上的點到焦點的最短距離為, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且.（1）求橢圓方程；（2）求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設C：＋＝1（a>b>0），設c>0，c²＝a²－b²，由條件知a-c＝1-，＝，∴a＝1，b＝c＝       故C的方程為：y²＋＝1 --------------------------4 

（2）當直線斜率不存在時： --------------------------------------------------6

當直線斜率存在時：設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0  --------------8 

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*） 

x₁＋x₂＝，①   x₁x₂＝　 ②  ∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ③  ---10

由①②③消去x_1，x₂，∴3（）²＋4＝0……9分整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　                  

m²＝時，上式不成立；m²≠時，k²＝，  ∴k²＝0，∴或 把k²＝代入（*）得或_-----12

∴或……11分,綜上m范圍為或