Question

數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），λ為非零常數
（1）是否存在實數λ，使得數列{a_n}成為等差數列或者成為等比數列，若存在則找出所有的λ，并求出對應的通項公式；若不存在則說明理由；
（2）當λ=1時，記b_n=a_n+×2ⁿ，證明數列{b_n}是等比數列；
（3）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1））a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4（1分）
①若數列{a_n}為等}為等差數列，則得λ²-λ+1=0由△=12-4=-3＜0知方程無實根，故不存在實數λ，（3分）
②若數列{a_n}為等比數列得（2+2λ）²=2（2λ²+2λ+4），解得λ=1
則a_n+1=a_n+2ⁿ
a₂-a₁=2
a₃-a₂=2²
…
a_n-a_n-1=2^n-1
由累加法得：a_n-a₁=2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-2
解得a_n=2ⁿ（n≥2）
顯然，當n=1時也適合，故a_n=2ⁿ（n∈N*）．
故存在實數λ=1，使得數列{an}為等比數列，其通項公式為a_n=2ⁿ（6分）
（2）λ=1時由（1）可得，，
∴
∴數列{b_n}是等比數列
（3））①當λ=1時，a_n=2ⁿ，
由等比數列的求和公式可得，（7分）
②當λ=2時，構造等差數列 {}求解，，③當λ≠1且λ≠2時，構造等比數列 {}求解．
分析：（1）a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4．分兩種情況討論①數列{a_n}為等差數列，得λ²-λ+1=0由△=12-4=-3＜0知方程無實根，故不存在實數λ，②若數列{a_n}為等比數列得（2+2λ）²=2（2λ²+2λ+4），解得λ=1，a_n+1=a_n+2ⁿ解得a_n=2ⁿ，故存在實數λ=1，使得數列{a_n}為等比數列．
（2）λ=1時由（1）可得，，容易證明
（3）①當λ=1時，轉化為等比數列求解．②當λ=2時，構造等差數列 {}求解，，③當λ≠1且λ≠2時，構造等比數列 {}求解．
點評：本題是一道數列綜合題，情景熟悉，貌似簡單，入手也不難，但綜合程度之高令人嘆為觀止．無論是分類討論的思想，還是反證推理、求數列通項和數列求和都考查得淋漓盡致，累加法和待定系數法求數列的通項、錯位相減法和分組求和法求數列的前n項和，幾乎數列的所有知識和方法都熔于一爐．