Question

已知函數y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，則x₀稱是函數y=f（x）的一個不動點，設．
（1）求函數y=f（x）的不動點；
（2）對（1）中的二個不動點a、b（假設a＞b），求使恒成立的常數k的值；
（3）對由a₁=1，a_n=f（a_n-1）定義的數列{a_n}，求其通項公式a_n．

Answer 1

解：（1）設函數y=f（x）的一個不動點為x₀，
則
（2）由（1）可知
可知使恒成立的常數k=8．
（3）由（2）知
可知數列為首項，8為公比的等比數列
即以為首項，8為公比的等比數列．則
∴．
分析：（1）設函數y=f（x）的一個不動點為x₀，然后根據不動點的定義建立方程，解之即可；
（2）由（1）可知，代入可求出常數k的值；
（3）由（2）可知數列為首項，8為公比的等比數列，然后求出通項，即可求出數列{a_n}的 通項公式．
點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及等比數列求通項，同時考查了前后問題之間的聯系，屬于中檔題．