Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中點(diǎn)，AF=

3

．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求此多面體的體積．

Answer 1

（1）證明：取CE中點(diǎn)P，連接FP、BP，
∵EF∥DE，且FP=1
又AB∥DE，且AB=1，
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF為平行四邊形，
∴AF∥BP．（2分）
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE（4分）
（2）證明：∵AD=AC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，AF=

3

．
所以△ACD為正三角形，
∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE（6分）
又BP∥AF，
∴BP⊥平面CDE
又∵BP平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE（8分）
（3）此多面體是以C為頂點(diǎn)，以四邊形ABED為底邊的四棱錐，
等邊三角形AD邊上的高就是四棱錐的高V=

1

3

×

1

2

×2×(1+2)×

3

=

3

（12分）