Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=DE=2AB=4，F為CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ） 若∠CAD=90°，求三棱錐F-BCE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證法一：取DE的中點M，連接AM，FM，根據AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，可得AB∥DE，從而得到四邊形ABEM是平行四邊形，則AM∥BE，而AM?平面BCE，BE?平面BCE，根據線面平行的判定定理可知AM∥平面BCE，因MF∥CE，而MF?平面BCE，CE?平面BCE，同理可得MF∥平面BCE，又AM∩MF=M，根據面面平行的判定定理可知平面AMF∥平面BCE，AF?平面AMF，根據面面平行的性質可知AF∥平面BCE；
證法二：取CE的中點N，連接FN，BN，根據AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，可得AB∥DE，再根據CF=FD，CN=NE，可得NF∥DE，NF=

1

2

DE，又AB=

1

2

DE，則AB∥NF，AB=NF，從而四邊形ABNF是平行四邊形，則AF∥BN，又AF?平面BCE，BN?平面BCE，滿足線面平行的三個條件，證得結論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AF∥平面BCE，則V_F-BCE=V_A-BCE=V_C-ABE，然后證明AC⊥平面ABED，則AC是三棱錐C-ABE的高，最后根據三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答：（Ⅰ）證法一：如圖（1），取DE的中點M，連接AM，FM，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE．又∵AB=EM=

1

2

DE，
∴四邊形ABEM是平行四邊形，∴AM∥BE
又∵AM?平面BCE，BE?平面BCE，
∴AM∥平面BCE．
∵CF=FD，DM=ME，∴MF∥CE，
又∵MF?平面BCE，CE?平面BCE，
∴MF∥平面BCE，又∵AM∩MF=M，
∴平面AMF∥平面BCE，
∵AF?平面AMF，
∴AF∥平面BCE．-----------------（6分）
證法二：如圖（2），取CE的中點N，連接FN，BN，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，
∵CF=FD，CN=NE，∴NF∥DE，NF=

1

2

DE，
又AB=

1

2

DE，∴AB∥NF，AB=NF，
∴四邊形ABNF是平行四邊形，
∴AF∥BN，又∵AF?平面BCE，BN?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．-----------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知AF∥平面BCE，
∴V_F-BCE=V_A-BCE=V_C-ABE∵AB⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，
∵∠CAD=90°，即AC⊥AD，
∴AC⊥平面ABED，所以，AC是三棱錐C-ABE的高．
∵AB=2，AD=4
∴S△ABE=

1

2

AB•AD=

1

2

×2×4=4．
∴VC-ABE=

1

3

S△ABE•AC=

1

3

×4×4=

16

3

．----------------（12分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，常常有兩個方向，一個是利用面面平行的性質，另一個是利用線面平行的判定定理，同時考查了三棱錐的體積計算，屬于中檔題．