Question

【題目】已知向量 =（2cos2x， ）， =（1，sin2x），函數f（x）= ﹣1．
（1）當x= 時，求|a﹣b|的值；
（2）求函數f（x）的最小正周期以及單調遞增區間；
（3）求方程f（x）=k，（0＜k＜2），在[﹣ ， ]內的所有實數根之和．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由向量 =（2cos2x， ）， =（1，sin2x），

則：a﹣b=（2cos2x﹣1， sin2x）

當x= 時，a﹣b=（2cos2 ﹣1， sin2× ）

=（0， ）

那么：|a﹣b|=

（2）

解：f（x）=ab﹣1=1×2cos2x+ sin2x

=

=1+cos2x+ sin2x﹣1

=2sin（2x+ ）

∴最小正周期T=

由sinx的圖象和性質，可知x ，（k∈Z）是增區間．

∴2x+ 是增區間，即： ，（k∈Z）

解得： ，（k∈Z）

所以，f（x）的單調增區間為： ，（k∈Z）

（3）

解：由方程f（x）=k，（0＜k＜2），得 ．

∵ 的周期T=π，又 ，

∴ 在 內有2個周期．

∵ ，∴方程 在 內有4個交點，即有4個實根．

根據圖象的對稱性，有 ， ，

∴所有實數根之和=x1+x2+x3+x4+x5+x6= ．

【解析】（1）根據平面向量加減的運算法則求出a﹣b，化簡，將x= 帶入，求模長．（2）根據平面向量乘積的運算法則求出f（x），將其化簡，結合三角函數的圖象和性質即可得到答案．（3）利用三角函數的圖象和性質，在[﹣ ， ]內求出方程f（x）=k時，x的值，即可解決問題．