Question

【題目】已知函數.

（1）若在處取得極值，求在處的切線方程；

（2）討論的單調性；

（3）若函數在上無零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據在處取極值可得，可求得，驗證可知滿足題意；根據導數的幾何意義求得切線斜率，利用點斜式可求得切線方程；（2）求導后，分別在和兩種情況下討論導函數的符號，從而得到的單調性；（3）根據在上無零點可知在上的最大值和最小值符號一致；分別在，兩種情況下根據函數的單調性求解最大值和最小值，利用符號一致構造不等式求得結果.

（1）由題意得：

在處取極值 ，解得：

則當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增

為的極小值點，滿足題意 函數

當時，

由得：

在處的切線方程為：，即：

（2）由題意知：函數的定義域為，

①當時

若，恒成立，恒成立

在內單調遞減

②當時

由，得：；由得：

在內單調遞減，在內單調遞增

綜上所述：當時，在內單調遞減；當時，在內單調遞減，在內單調遞增

（3）①當時，在上單調遞減

在上無零點，且

②當時

（i）若，即，則在上單調遞增

由，知符合題意

（ii）若，即，則在上單調遞減

在上無零點，且

（iii）若，即，則在上單調遞減，在上單調遞增

，，

符合題意

綜上所述，實數的取值范圍是