Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F且斜率為的直線l與拋物線C交于A，B兩點，B在x軸的上方，且點B的橫坐標為4．

（1）求拋物線C的標準方程；
（2）設點P為拋物線C上異于A，B的點，直線PA與PB分別交拋物線C的準線于E，G兩點，x軸與準線的交點為H，求證：HGHE為定值，并求出定值．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x

（2），證明見解析

【解析】

（1）由AB的斜率為，可得，解得p=2即可；（2）設點，可得，，即可得HGHE=．

（1）由題意得：，
因為點B的橫坐標為4，且B在x軸的上方，所以，
因為AB的斜率為，
所以，整理得：，
即，得p=2，
拋物線C的方程為：y2=4x．
（2）由（1）得：B（4，4），F（1，0），準線方程x=1，
直線l的方程：，
由，解得或x=4，于是得．
設點，又題意n≠1且n≠-4，
所以直線PA：，令x=1，得，
即，
同理可得：，
HGHE=．