Question

（14分）如右圖，簡單組合體ABCDPE，其底面ABCD為邊長為的正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC＝.

(1)若N為線段PB的中點，求證：EN//平面ABCD；

(2)求點到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

(1)只需證NE∥FC； (2) 。

【解析】

試題分析：(1)解法1：連結AC與BD交于點F，連結NF，…………………..1分

∵F為BD的中點，∴NF∥PD且NF＝PD……………………………….3

又EC∥PD，且EC＝PD，

∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四邊形NFCE為平行四邊形，…………… 4

∴NE∥FC. …………………. …………….5

∵NE平面ABCD，且平面ABCD   所以EN//平面ABCD；………………….6

(2)（體積法）連結DE，由題，且，故是三棱錐的高，

…………………. ………………7

在直角梯形中，可求得，且  由（１）所以………9

，…………………11

又，…………………………12

設所求的距離為，則……………..14

解法2：(1)以點D為坐標原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖所示

………………………………1，

則B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，2)，E(0,2，1)，N(1，1，1)，……………2

∴＝(1，－1，0)， ……………………..3

，…………… ……………4

又是平面ABCD的法向量

∵NE平面ABCD       所以EN//平面ABCD；……………………………….6

（2）由（1）可知，…………….8

設平面的法向量為來源:]

由得…………………. ……………10

解得其中一個法向量為………………………..11

點到平面的距離為……14

考點：線面垂直的性質定理；線面平行的性質定理；點到平面的距離。

點評：設A是平面α外一點，B是α內一點，為α的一個法向量，則點A到平面α的距離。