Question

（本小題滿分13分）

等差數列的前項和為，已知為整數，且在前項和中最大.

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設.

（1）求證：； （2）求數列的前項和.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）略；（2）.

【解析】

試題分析: （Ⅰ）因為等差數列的前項和中最大，，為整數，所以公差是負整數，且，所以，結合是整數，求得公差，再求出通項公式；

（Ⅱ）先求出，（1）利用做差比較法可知是遞減數列，進而證得結論；（2）因為，所以，，利用錯位相減法求得數列的前項和.等差數列與等比數列對應項相乘構成新數列求和，要用錯位相減法.

試題解析：（Ⅰ）由為整數知，等差數列的公差為整數， 1分

又，故，即， 3分

解得 ， 4分

因此， 5分

數列的通項公式為. 6分

（Ⅱ）（1）由題意知，∴， 8分

∴數列是單調遞減數列，的最大項為，所以. 9分

，

，

兩式相減得， 11分

∴. 13分

考點：①求數列通項公式；②數列的單調性；③數列求和.