Question

已知函數f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx(a∈R)．
（Ⅰ）當a=1時，?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將a的值代入f（x），求出f（x）的導函數；，將?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m轉化為f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函數遞增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．
（II）將圖象的位置關系轉化為不等式恒成立；通過構造函數，對新函數求導，對導函數的根與區間的關系進行討論，求出新函數的最值，求出a的范圍．

解答：解：（I）當a=1時，f(x)=

1

2

x2+lnx(x＞0)，
f′(x)=x+

1

x

可知當x∈[1，e]時f（x）為增函數，
最小值為f(1)=

1

2

，
要使?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，
故實數m的取值范圍是[

1

2

，+∞)
（2）已知函數f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx(a∈R)．
若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，
等價于對任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，
即(a-

1

2

)x2+lnx-2ax＜0恒成立．
設g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))．
即g（x）的最大值小于0.g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)
（1）當a≤

1

2

時，g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)＜0，
∴g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))為減函數．
∴g（1）=-a-

1

2

≤0
∴a≥-

1

2

∴

1

2

≥a≥-

1

2

（2）a≥1時，g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)＞0．
g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))為增函數，
g（x）無最大值，即最大值可無窮大，故此時不滿足條件．
（3）當

1

2

＜a＜1時，g（x）在(1，

1

2a-1

)上為減函數，在(

1

2a-1

，+∞)上為增函數，
同樣最大值可無窮大，不滿足題意．綜上．實數a的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．

點評：解決不等式恒成立及不等式有解問題一般都轉化為函數的最值問題，通過導數求函數的最值，進一步求出參數的范圍．