Question

設△ABC的三個內角A、B、C對邊分別是a、b、c，已知

a

sinA

=

b

3 cosB

，
（1）求角B；
（2）已知a=2，S△ABC=2

3

，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知等式，求出tanB的值，由B為三角形內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由a，sinB，以及已知的面積，利用面積公式求出c的值，再由a，c以及cosB的值，利用余弦定理求出b的值，利用勾股定理的逆定理判斷即可．

解答：解：（1）根據正弦定理及已知等式得：

a

sinA

=

b

sinB

=

b

3 cosB

，
∴sinB=

3

cosB，即tanB=

3

，
∵B為三角形內角，
∴B=

π

3

．
（2）∵S_△ABC=

1

2

acsinB=2

3

，
∴

1

2

×2×c×

3

2

=2

3

，
解得：c=4，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=4+16-8=12，即b=2

3

，
∴c²=a²+b²，
則△ABC為直角三角形．

點評：此題考查了正弦定理，以及三角形形狀的判斷，涉及的知識有：同角三角函數間的基本關系，三角形面積公式，余弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．