Question

二次函數f（x）的圖象頂點為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長為8
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2-2a）x-f（x），若g（x）在區間[0，2]上的最大值是5，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）根據其頂點坐標用頂點式二次函數通式設拋物線的解析式，然后根據圖象在x軸上截得線段長是8，求得圖象與x軸交于（-3，0）和（5，0）兩點，代入拋物線中即可求得二次函數的解析式；
（2）先求出函數的解析式，確定函數的對稱軸，再結合函數的定義域進行分類討論，利用g（x）在區間[0，2]上的最大值是5，可求實數a的值．

解答：解：（1）∵二次函數f（x）的圖象頂點為A（1，16），
∴設二次函數解析式為f（x）=a（x-1）²+16．
又∵圖象在x軸上截得線段長是8，
∴圖象與x軸交于（-3，0）和（5，0）兩點．
∴a（-3-1）²+16=0，
∴a=-1，
∴所求二次函數解析式為f（x）=-x²+2x+15
（2）g（x）=（2-2a）x-f（x）=（2-2a）x-（-x²+2x+15）=x²-2ax-15=（x-a）²+-a²-15
①a≥2時，g（x）在區間[0，2]上為單調減函數，∴x=0時，取得最大值，
∵g（0）=-15，不合題意；
②1＜a＜2時，g（x）在區間[0，a]上為單調減函數，在[a，2]上為單調減函數，a-0＞2-a，
∴x=0時，取得最大值，
∵g（0）=-15，不合題意；
③0≤a≤1，時，g（x）在區間[0，a]上為單調減函數，在[a，2]上為單調減函數，a-0≤2-a，
且x=2時，取得最大值，
∵g（2）=4-4a-15，∴4-4a-15=5，∴a=-4，不合題意；
④a＜0時，g（x）在區間[0，2]上為單調增函數，∴x=2時，取得最大值，
∵g（2）=4-4a-15，∴4-4a-15=5，∴a=-4，符合題意；
綜上知，實數a的值為-4．

點評：本題重點考查函數的解析式，考查函數的最值，解題的關鍵是利用待定系數法假設方程，利用函數對稱軸與定義域的關系，合理進行分類討論．