Question

設y=f（x）是定義在區間[-1，1]上的函數，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判斷函數是否滿足題設條件；
（Ⅲ）在區間[-1，1]上是否存在滿足題設條件的函數y=f（x），且使得對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題設條件可知，當x∈[-1，1]時，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，
即x-1≤f（x）≤1-x．
（Ⅱ）解：函數g（x）滿足題設條件．
驗證如下：g（-1）=0=g（1）．
對任意的u，v∈[-1，1]，
當u，v∈[0，1]時，有|g（u）-g（v）|=|（1-u）-（1-v）|=|u-v|；
當u，v∈[-1，0]時，同理有|g（u）-g（v）|=|u-v|；
當u•v＜0，不妨設u∈[-1，0），v∈（0，1]，有|g（u）-g（v）|=|（1+u）-（1-v）|=|u+v|≤|v-u|．
所以，函數g（x）滿足題設條件．
（Ⅲ）解：這樣滿足的函數不存在．
理由如下：假設存在函數f（x）滿足條件，則由f（-1）=f（1）=0，得|f（1）-f（-1）|=0，①
由于對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=|u-v|．
所以，|f（1）-f（-1）|=|1-（-1）|=2．②
①與②矛盾，因此假設不成立，即這樣的函數不存在．
分析：（I）利用（ii），可得當x∈[-1，1]時，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，從而可得結論；
（II）分類討論，驗證滿足條件（i），（ii）即可；
（III）利用反證法，結合條件，引出矛盾即可．
點評：本小題考查函數、不等式等基本知識，考查綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力．