Question

如果拋物線y²=px和圓（x-2）²+y²=3相交，它們在x軸上方的交點A、B，那么當p為何值時，線段AB的中點M在直線y=x上．

Answer 1

分析：先把兩個方程聯立求出關于點A、B和p的方程，再求出中點坐標以及直線AB的斜率，最后利用圓中垂直弦平分弦的性質來求p值即可．

解答：解：由題得p＞0．
設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），圓的圓心為點C，聯立

(x-2)2+y2=3 y2=px

?x²-（4-p）x+1=0，
△=（4-p）²-4＞0?p＞6或0＜p＜2，
有x₁+x₂=4-p＞0?0＜p＜2，且線段AB的中點M的坐標為（2-

p

2

，2-

p

2

）．
又因為k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(y1+y2)

=

p(x1-x2)

( x1-x2)(y1+y2)

=

p

2(2- p 2 )

=

p

4-p

．
k_CM=

2- p 2

2- p 2 -2

=

4-p

-p

．
所以k_AB•k_CM=-1．即AB與CM恒垂直滿足圓中垂直弦平分弦的結論
故所求   0＜p＜2．

點評：本題是對拋物線與圓的綜合考查．主要用到了圓內的垂徑定理．