Question

如果拋物線y²=px和圓（x-2）²+y²=3相交，它們在x軸上方的交點A、B，那么當p為何值時，線段AB的中點M在直線y=x上．

Answer 1

【答案】分析：先把兩個方程聯立求出關于點A、B和p的方程，再求出中點坐標以及直線AB的斜率，最后利用圓中垂直弦平分弦的性質來求p值即可．
解答：解：由題得p＞0．
設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），圓的圓心為點C，聯立⇒x²-（4-p）x+1=0，
△=（4-p）²-4＞0⇒p＞6或0＜p＜2，
有x₁+x₂=4-p＞0⇒0＜p＜2，且線段AB的中點M的坐標為（2-，2-）．
又因為k_AB=====．
k_CM==．
所以k_AB•k_CM=-1．即AB與CM恒垂直滿足圓中垂直弦平分弦的結論
故所求   0＜p＜2．
點評：本題是對拋物線與圓的綜合考查．主要用到了圓內的垂徑定理．