Question

命題p：函數f（x）=x³+ax²+ax-a既有極大值又有極小值；命題q：直線3x+4y-2=0與圓（x-a）²+y²=1有公共點．若命題“p或q”為真，且命題“p且q”為假，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：首先考慮p，q為真時的等價結論：函數f（x）=x³+ax²+ax-a既有極大值又有極小值說明導函數圖象與x軸有兩個不同的交點，即判別式＞0；又直線3x+4y-2=0與圓（x-a）²+y²=1有公共點等價于圓心到直線的距離不大于半徑．再由命題“p或q”為真，得到p，q中至少有一個真，命題“p且q”為假得到p，q中至少有一個假，所以p，q一真一假，從而得到a的不等式組，解出即可．

解答：解：∵f（x）=x³+ax²+ax-a∴f'（x）=3x²+2ax+a
若p真則函數f（x）=x³+ax²+ax-a既有極大值又有極小值
∴△=（2a）²-4×3×a＞0
∴a＞3或a＜0--------4分
若q真則直線3x+4y-2=0與圓（x-a）²+y²=1有公共點
等價于圓心（a，0）到直線的距離不大于1，即

|3a+4×0-2|

32+42

≤1⇒|3a-2|≤5⇒-1≤a≤

7

3

------8分
由命題“p或q”為真，得到p，q中至少有一個真；
命題“p且q”為假，得到p，q中至少有一個假，
所以p，q一真一假．
若p真q假時，則有

a＞3或a＜0 a＞ 7 3 或a＜-1

⇒a＞3或a＜-1；
若p假q真時，則有

0≤a≤3 -1≤a≤ 7 3

⇒0≤a≤

7

3

綜上a＞3或a＜-1或0≤a≤

7

3

------12分
故實數a的取值范圍是a＞3或a＜-1或0≤a≤

7

3

．

點評：本題主要考查復合函數的真假以及函數在某點取得極值的條件和直線與圓的位置關系的判斷，應結合幾何圖形應用圓心到直線的距離和半徑的大小關系，考查解不等式的運算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．