Question

設命題p：函數f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域為R；命題q：3^x-9^x＜a對一切的實數均成立，如果命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：可先求得p真與q真時x的范圍，再由真值表作出解答即可．

解答：解：∵命題p：函數f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域為R，
∴ax²-x+

1

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a＞0恒成立，
顯然，a≠0，
∴

a＞0 1- a2 4 ＜0

，解得a＞2；
∵命題q：3^x-9^x＜a對一切的實數均成立，令g（x）=3^x-9^x，
則a＞g（x）_max．
∵g（x）=3^x-9^x=-(3x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，
∴g（x）_max=

1

4

，
∴a＞

1

4

．
∵“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，
∴命題p與命題q一真一假．
若p真q假，則a∈∅；
若p假q真，即

a≤2 a＞ 1 4

，則

1

4

＜a≤2．
綜上所述，

1

4

＜a≤2．
故答案為：

1

4

＜a≤2．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，求得分別求得p真與q真時x的范圍是關鍵，突出考查函數恒成立問題，屬于中檔題．