Question

2．設函數f（x）=Acos（πx+φ）（其中A＞0，0＜φ＜π，x∈R）．當x=$\frac{1}{3}$時，f（x）取得最小值-2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析 （1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由f（$\frac{1}{3}$）=2cos（$\frac{π}{3}$+φ）=-2求出φ的值，可得函數的解析式．
（2）由條件利用余弦函數的增區間，求得f（x）的單調遞增區間．

解答 解：（1）∵f（x）=Acos（πx+φ）的最小值-2，且A＞0，所以A=2．
因為f（$\frac{1}{3}$）=2cos（$\frac{π}{3}$+φ）=-2，∴cos（$\frac{π}{3}$+φ）=-1，
由0＜φ＜π，可得$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$+φ＜$\frac{4π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$+φ=π，∴φ=$\frac{2π}{3}$．
故f（x）=的解析式為$f（x）=2cos（πx+\frac{2π}{3}）$．
（2）對于函數 $f（x）=cos（πx+\frac{2π}{3}）$，由$-π+2kπ≤πx+\frac{2π}{3}≤2kπ$，k∈Z，
解得$-\frac{5}{3}+2k≤x≤-\frac{2}{3}+2k$，k∈Z，
∴函數f（x）的單調遞增區間為$[{-\frac{5}{3}+2k，-\frac{2}{3}+2k}]，k∈Z$．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由f（$\frac{1}{3}$）=2cos（$\frac{π}{3}$+φ）=-2求出φ的值，余弦函數的增區間，屬于基礎題．