Question

（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知三點A（-1，0），B（1，0），，以A、B為焦點的橢圓經過點C。

   （I）求橢圓的方程；

   （II）設點D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線與橢圓交于不同兩點M、N，使

        ？若存在，求出直線斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由：

   （III）對于y軸上的點P（0，n），存在不平行于x軸的直線與橢圓交于不同兩點M、N，使，試求實數n的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）不存在（3）

【解析】（I）設橢圓方程為，

據知，

∴所求橢圓方程為                                              …………4分

   （II）

∴若存在符合條件的直線，該直線的斜率一定存在，

否則與點D（0，1）不在x軸上矛盾。

∴可設直線

由得

由  …………6分

設，

MN的中點為

則

又

解得：                                                              …………8分

（將點的坐標代入亦可得到此結果）

由得，

這是不可能的。

故滿足條件的直線不存在。                                                    …………9分[來源:Zxxk.Com]

   （III）據（II）有

可推出要使k存在，只需

的取值范圍是           …………12分