Question

4名男生和3名女生并坐一排，分別回答下列問題：
（1）男生必須排在一起的坐法有多少種？
（2）女生互不相鄰的坐法有多少種？
（3）男生相鄰、女生也相鄰的坐法有多少種？
（4）男生甲不排頭女生乙不排尾坐法有多少種？

Answer 1

分析：（1）4名同學相鄰可以把四名男生作為一個元素，和3名女生共有四個元素排列，有A₄⁴=24種結果，其中四名男生內部還有一個排列，共有A₄⁴A₄⁴種結果．
（2）3名女生不能相鄰，可以先排列男生，有A₄⁴種結果，再在男生寫出的5個空中排列3名女生，有A₅³種結果，根據分步計數原理知共有A₄⁴A₅³種結果．
（3）四名男生作為一個元素，三名女生作為一個元素，兩個元素的排列共有A₂²種結果，再排他們內部的順序，根據分步計數原理共有A₄⁴A₃³A₂²種結果．
（4）用間接法，在所用7個元素排列的基礎之上減去男生甲排頭或女生乙在排尾的情況，共有A₇⁷-2A₆⁶+A₅⁵=3720種結果．

解答：解：（1）由題意，可以把四名男生作為一個元素，和3名女生共有四個元素排列，
再排4個男生的內部順序：共有A₄⁴A₄⁴=576種結果
（2）由題意，可以先排列男生，有A₄⁴種結果，
再用插空法排女生，共有A₄⁴A₅³=1440種結果．
知可以分成兩種情況甲站在右端有A₅⁵=120種結果，
（3）由題意，可以將四名男生作為一個元素，三名女生作為一個元素，兩個元素的排列共有A₂²種
再排他們內部的順序，有A₄⁴A₃³種結果，
根據分步計數原理，共有A₄⁴A₃³A₂²=288種結果．
（6）首先把7名同學全排列，共有A₇⁷種結果，
再減去不符合題意的情況：男生甲排頭A₆⁶種情況和女生乙在排尾A₆⁶種情況，
還要加上男生甲在排頭且女生乙在排尾的情況：A₅⁵
所以一共有A₇⁷-2A₆⁶+A₅⁵=3720種結果．

點評：本小題考查排列組合及簡單的計數問題，是一道中檔題．解決本題解題的關鍵是不相鄰問題采用插空法，相鄰問題采用捆綁法，指定元素優先考慮法和間接法等等．