Question

【題目】如圖，在各棱長(zhǎng)均為的三棱柱中，側(cè)面底面， .

（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小；

（2）已知點(diǎn)滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）恰好為點(diǎn).

【解析】【試題分析】（1）作于點(diǎn)，得平面.由此以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量，來求得直線與平面所稱角的正弦值.（2）假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量垂直，且，可求得點(diǎn)的坐標(biāo).

【試題解析】

解：（1）∵側(cè)面底面，作于點(diǎn)，

∴平面.

又，且各棱長(zhǎng)都相等，

∴， ， .

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

， ， ， ，

∴， ， .

設(shè)平面的法向量為，

則，解得.由.

而側(cè)棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角，

∴側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小為.

（2）∵，而， ，

∴，又∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，∴.

∵平面， 為平面的法向量，

∴由，得，∴.

又平面，故存在點(diǎn)，使平面，其坐標(biāo)為，

即恰好為點(diǎn).